Jauge - Math'φsics

Jauge

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Jauge \(p_C\) de \(C\) convexe contenant \(0\) d'un Espace vectoriel Fonction qui associe à un point le plus petit réel positif tel que leur quotient soit dans \(C\) : $$p_C:\begin{align} E&\longrightarrow[0,+\infty]\\ x&\longmapsto\inf\left\{ t\gt 0\mid\frac xt\in C\right\}\end{align}$$
- \(p_C(x+y)\leqslant\) \(p_C(x)+p_C(y)\)
- \(\forall \lambda\geqslant0,p_C(\lambda x)\) \(=\lambda p_C(x)\)
- inclusions d'ensembles : \(\{x\in E\mid p_C(x)\lt 1\}\subset C\subset \{x\in E\mid p_C(x)\leqslant 1\}\)
- si \(p_C\) prends des valeurs finies, alors c'est une Fonction sous-linéaire
- si de plus \(\forall x,p_C(x)=p_C(-x)\), alors \(p_C\) est une Semi-norme
Questions de cours

Démontrer \(1)\) :

On prend des majorants des deux jauges, de manière à ce que les quotients soient dans \(C\).

On peut construire un barycentre égal à \(\frac{x+y}{s+t}\) via \(\frac s{s+t}\) et \(\frac t{s+t}\), qui est dans \(C\) par Convexité.

On a donc trouvé une majoration de \(p_C(x+y)\), ce qui nous permet de conclure (en prenant une Suite minimisante par ex).

Démontrer \(2)\) :

On prend un majorant de la jauge.

On a \(\frac{\lambda x}{\lambda s}=\frac xs\in C\), donc on a une majoration de \(p_C(\lambda x)\).

On conclut en faisant pareil avec \(\frac1\lambda\).

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner une propriété importante d'un Ouvert
convexe.
Verso: C'est l'Intérieur de son Adhérence.
Bonus: $$C=\mathring{\overline C}.$$
Carte inversée ?: y
END

Démontrer \(1)\) :

On prend \(r\) le rayon d'une Boule fermée centrée en \(0\) contenue dans \(C\).

On a alors \(\frac r{\lVert x\rVert}x\in C\), donc on a une majoration de \(p_C(x)\).

On peut utiliser cette majoration pour minorer \(p_C(x+y)\) via une \(\ne\!\!\!\triangle\), en remplaçant \(p_C(y)\) par \(-p_C(-y)\).

Ces deux majorations nous donnent la continuité.

Démontrer \(2)\) :

On a déjà une inclusion.

On a l'autre inclusion avec l'Adhérence.

On conclut puisque \(C\) est l'intérieur de son adhérence.

Exercices
Dans la suite, la jauge est définie par : $$p:x\mapsto\inf\{\lambda\gt 0\mid x\in\lambda\Omega\}$$

Montrer que la jauge est bien définie.

Elle est bien définie car le coefficient obtenu revient à réduire assez la distance entre \(x\) et \(0\) pour qu'il soit dans \(\Omega\).

Le cas extrême \(p(x)=0\) fonctionne toujours car \(0\in\Omega\).

Et \(p(x)\) est toujours fini puisque \(\Omega\) est un ouvert.

Montrer que la jauge \(p\) est positivement homogène : $$\forall t\gt 0,\forall x\in E,\quad p(tx)=tp(x).$$

Cela revient à avoir \(x\in\frac\lambda t\Omega\) : on se donne une Suite minimisante.

On a une majoration venant directement de la définition (via \(\inf\)).

L'autre inégalité vient du fait que l'\(\inf\) est atteint puisqu'on a choisi une suite minimisante.

On sait que la jauge \(p\) de \(\Omega\) est positivement homogène.
En déduire qu'elle est homogène.

On utilise la symétrie de \(\Omega\).

Soit \(x,y\in E, t,s\in{\Bbb R}\).
Montrer que si \(x\in t\Omega\) et \(y\in s\Omega\), alors \(x+y\in(s+t)\Omega\).

On pose \(a\) et \(b\), des intermédiaires qui décrivent l'hypothèse de l'énoncé.

On force une factorisation par \(s+t\) et on utilise la convexité de \(\Omega\) pour conclure.

Montrer que la jauge \(p\) vérifie l'inégalité triangulaire.

On pose deux points et une Suite minimisante de \(p\) pour chacun d'entre eux/

Le résultat vient directement par majoration.